Cours et conférences

Les 4 cours seront présentés lors d'introductions d'une durée d'une heure le lundi, mardi, et mercredi. Ils auront ensuite lieu en parallèle (ou non) du mercredi au vendredi. Le programme détaillé du colloque est disponible ici. 

Jürgen Angst

Géométrie des ensembles nodaux aléatoires

Les ensembles nodaux i.e. les ensembles de zéros de fonctions, ou plus généralement leurs ensembles de niveaux, sont des objets centraux en mathématiques. Ils sont par exemple à la définition même des variétés algébriques ou de la théorie de Morse et font l'objet de conjectures ouvertes de longue date, par exemple le XVIème problème de Hilbert ou encore la conjecture de Yau en géométrie riemannienne. Pour comprendre la géométrie typique d'un ensemble nodal, il est naturel de s'intéresser aux ensembles nodaux associés à des fonctions aléatoires, le hasard permettant de donner un sens à la notion d'ensemble nodal "générique".
Dans ce cours, on s'intéressera à différents modèles de fonctions aléatoires (polynômes, polynômes trigonométriques, fonctions propres du Laplacien etc.) et certains observables des domaines nodaux associés (volume, nombre de composantes connexes etc.). En particulier, on s'attachera à déterminer si / en quoi la géométrie de ces ensembles dépend de l'aléa sous-jacent.

Céline Helbert

Analyse et exploration de grands codes de calcul industriels

Aujourd’hui de nombreux phénomènes réels (dépollution des fumées en sortie des moteurs, extraction d’hydrocarbures d’un sous-sol, conception d’une turbomachine etc.) sont étudiés par de la simulation numérique, plus facile à manipuler et moins chère que des essais expérimentaux. Cependant la complexité des phénomènes physiques se traduit par des simulations numériques de plus en plus coûteuses en temps calcul, le budget de simulations envisageables est souvent réduit. Dans ce mini-cours nous présenterons des outils statistiques qui apportent, dans ce contexte contraint, des réponses à des problèmes de propagation d’incertitude, d’analyse de sensibilité et d’optimisation. On parlera notamment de plans d’expériences numériques et de régression par processus gaussiens (krigeage).

Amador Martin-Pizarro

Une introduction à la théorie des modèles. Compacité et propriétés asymptotiques

Dans ce cours de nature introductive, nous allons voir les bases de la théorie des modèles, entre autres, les notions de langages de premier ordre, formules et structures. Le but du cours est de donner une démonstration du théorème du compacité à l'aide des ultrafiltres pour conclure avec des applications de ce principe à la Lefschetz. Le cours est orienté à un public sans connaissances au préalable en logique mathématique.

Florian Méhats

Application des techniques de moyennisation pour les problèmes hautement oscillants, aspects théoriques et numériques

Dans ce cours, il sera question de problèmes hautements oscillants, avec des exemples dans les équations différentielles ordinaires ou les équations aux dérivées partielles. Les oscillations rapides représentent un enjeu du point de vue de la modélisation ou des simulations numériques et on s'attardera tout d'abord sur les résultats de moyennisations, qui permettent de mettre à jour des modèles approchés non raides. Dans un deuxième temps, on utilisera ces techniques de moyennisation pour construire des méthodes numériques dites uniformément précises, c'est-à-dire dont la convergence est uniforme par rapport aux fréquences des oscillations.

François Lê (x2)

(1) Genres et classifications au dix-neuvième siècle

"Maintenant, qu'est-ce que la science ? [C'est] avant tout une classification, une façon de rapprocher des faits que les apparences séparaient, bien qu'ils fussent liés par quelque parenté naturelle et cachée." Ces mots de Henri Poincaré (1905) soulignent la centralité de l'activité classificatoire en sciences et, a fortiori, en mathématiques. Les exemples historiques ne manquent pas, qui appuient cette sentence : équations, surfaces, noeuds et groupes (simples finis) sont autant d'objets dont les classifications respectives ont été cruciales en leur époque. Mais notre recul chronologique et nos prismes de lecture actuels tendent à gommer certains aspects du travail passé des mathématiciens classificateurs : qu'est-ce qu'une classification pour eux ? comment est-elle établie ? à quel moment est-elle acceptée, pérennisée ? selon quels critères ? agit-elle rétrospectivement sur le travail de recherche ? Je propose de mettre en lumière ces questions à partir de l'exemple de la notion de "genre" au 19ème siècle, en particulier via les travaux d'Alfred Clebsch (1833-1872), mathématicien allemand ayant proposé ce nom en 1865 dans l'objectif de classifier les courbes algébriques.

(2) Que cherche-t-on en histoire des mathématiques ? Un petit aperçu de la discipline

L'histoire des mathématiques est une discipline de recherche aujourd'hui bien implantée en France, avec ses problèmes, ses méthodes et ses exigences propres. Institutionnellement reconnue comme sous-discipline des mathématiques, la nature différente de ses objectifs (qui n'est pas de produire de nouveaux résultats mathématiques) l'éloigne toutefois des autres sous-disciplines, et peut faire naître des interrogations sur la nature des recherches qui s'y rattachent. Après avoir brièvement exposé quelques éléments structurels de la discipline en France, je donnerai des exemples récents de questions et de réponses en histoire des mathématiques. Je m'attarderai en particulier sur l'histoire de la création du mythe d'Évariste Galois et des processus d'assimilation de ses travaux au cours du 19ème siècle.